Бесплатная библиотека - учебники, шпаргалки, кандидатский минимум

StudySpace.ru – это хранилище знаний для студентов и аспирантов. Здесь вы можете скачать учебники и шпаргалки, аналитические статьи и рефераты. Уникальные лекции и шпаргалки для аспирантов из личного архива ВечноГО сТУдента, кандидатский минимум. Для вас бесплатные учебники и шпаргалки без регистрации.


Культура античного полиса и становление первых форм теоретической науки

 

 

 

Переход к научному знанию связывают с Древней Грецией, ко­гда в ней впервые возникает геометрия как теоретическая система, которая нашла свое завершение в аксиоматической теории Евклида. Древние греки охотно признают, что многие эмпирические сведе­ния по геометрии, астрономии и арифметике они заимствовали у египтян и вавилонян, но они придали им рациональный характер и все привели в целостную систему теоретического знания.

«Что бы эллины ни перенимали от варваров, — утверждал Пла­тон, — они всегда доводили это до более высокого совершенства»1.

   Такого совершенства они достигали путем рациональной обработки эмпирического материала, т.е. когда стали работать не с реальными предметами, а с их математическими моделями. Исследуя связи между идеальными объектами таких моделей, они выделяли в них основные понятия и недоказуемые утверждения, названные ими аксиомами. Все остальные знания они постарались доказать с по­мощью логики, т.е. выводили их логически как теоремы. Таким об­разом, важнейшими условиями возникновения первой теоретиче­ской науки, как геометрия, стало введение абстрактных объектов (точки, прямые и плоскости). Логические связи между этими объ­ектами описывались с помощью системы аксиом. Такая аксиомати­ческая система и стала концептуальной моделью геометрии, как теоретической науки.

Следовательно, переход от преднаучной к научной стадии раз­вития в античной геометрии был связан с отказом от эмпирическо­го изучения предметов, обладающих определенной геометрической конфигурацией, и обращением к теоретическому исследованию их геометрической формы, независимо от конкретного вещественного содержания. Для этого необходимо было использовать различные типы абстракций, чтобы определить основные понятия геометрии. С другой стороны, необходимо было располагать достаточно развитой системой логики, чтобы выделить, во-первых, исходные утверждения геометрии среди остальных и сформулировать их в виде аксиом; во-вторых, вывести остальные утверждения теории из этих аксиом, т.е. получить их как логические следствия из аксиом или доказать как теоремы. Так впервые появляется понятие теоретического доказатель­ства, заменившее непосредственное обращение к реальному предмету или к чертежу, сопровождавшееся указанием: «смотри».

Законченную аксиоматическую форму геометрические знания получили только в III веке до н.э. в знаменитых «Началах» Евклида, ставших впоследствии образцом строгости математического изложе­ния. Но этому предшествовал с VI по III в. до н.э. период накопле­ния и систематизации различных доказательств, которые Евклид систематизировал, переформулировал и добавил к ним собственные доказательства в своих «Началах». Чтобы получить более ясное представление о систематизации геометрических знаний, рассмот­рим кратко, как происходил этот процесс в истории древнегрече­ской математики.

Начало этого процесса связывают с именем родоначальника милетской школы Фалеса, считавшегося первым из семи древних мудрецов. По свидетельству первого комментатора «Начал» Евкли­да, неоплатоника Прокла, «Фалес путешествовал в Египет и привез геометрию в Элладу; многое он открыл сам и для многого другого он дал основу жившим после него. Иногда он рассматривал вопрос общее, иногда больше опираясь на наглядность»1. Фалесу приписывают, в частности, доказательство равенства углов при основании равнобедренного треугольника, а также равенства двух треугольни­ков, имеющих равными одну сторону и два прилежащих к ним уг­ла. Эта теорема применяется при определения расстояния до ко­рабля на море, которым пользовался Фалес. Хотя эти элементарные геометрические утверждения, по-видимому, эмпирически были из­вестны египтянам, а тем более вавилонянам, тем не менее они не стремились доказывать их логически. Заслуга Фалеса именно в том и состоит, что он первый положил начало логическим доказатель­ствам теорем в геометрии и тем самым способствовал дедуктивному построению этой науки. Но иногда, как замечает Прокл, он опи­рался также на наглядность.

Дальнейший прогресс в геометрии связан с именем величайше­го ученого античности Пифагора, имя которого известно каждому школьнику по знаменитой его теореме. По мнению Прокла, «Пи­фагор ...преобразовал эту науку в форму свободного образования. Он изучал эту науку, исходя от первых ее оснований и старался по­лучать теоремы при помощи чисто логического мышления, вне конкретных представлений»2. Однако для большинства своих со­временников Пифагор был скорее религиозным пророком, который проповедовал бессмертие души, ввел для своих сторонников стро­гие правила морали и основал братство верующих — пифагорей­ский орден. Математика была составной частью религии этого ор­дена. «Бог, учили они, положил числа в основу мирового порядка. Бог — это единство, а мир — множество и состоит из противопо­ложностей. То, что приводит противоположности к единству и со­единяет все в космос, есть гармония. Гармония является божест­венной и заключается в числовых соотношениях»3. Самому Пифа­гору приписывают нахождение «золотой пропорции»

А: Н = R: В, где Н — гармоническое среднее, a R — арифметическое среднее.

     По свидетельству историков, Пифагор нашел эту пропорцию благодаря знакомству с трудами вавилонских математиков. Он со­вершал путешествия в Вавилон и Египет. Поэтому некоторые ис­следователи считают, что он являлся передатчиком вавилонской учености античным грекам. Свой тезис об упорядоченности числа­ми всего существующего в мире пифагорейцы демонстрировали с помощью музыкальной гармонии. Если уменьшить длину струны вдвое, то ее тон повысится на одну октаву. Аналогично этому, если уменьшить ее в отношении 3:2 и 4:3, то ему будут соответствовать интервалы квинта и кварта, что якобы подтверждает основной их принцип «все есть число».

Такая магическая вера в числовые закономерности, которые управляют миром, побудила пифагорейцев заняться тщательным анализом свойств чисел. Среди них они выделяют в первую очередь знаменитую тетраду: 1, 2, 3, 4, которая геометрически изображается совершенным треугольником, а арифметически — треугольным числом 1 + 2 + 3 + 4= 10. Кроме того, они рассматривали так на­зываемые совершенные числа, равные сумме своих делителей, на­пример, 6=1+2 + 3 = 6. Весьма важными видами чисел они счи­тали фигурные числа: треугольные, квадратные, четырехугольные, пятиугольные, «дружественные» числа и некоторые другие.

Однако главными достижениями пифагорейской школы счита­ют поиск строго логических доказательств в геометрии, в особенно­сти знаменитой теоремы о квадрате гипотенузы прямоугольного треугольника, равной сумме квадратов его катетов. По легенде эта теорема восходит к Пифагору, в честь открытия которого он якобы принес в жертву быка, но последнее выглядит неправдоподобно, ибо он был вегетарианцем и противником убоя животных.

Другие открытия Пифагора были связаны с построением и изу­чением свойств правильных многогранников, а также звездчатого пятиугольника («звезды»), который считался символом здоровья и служил опознавательным знаком для пифагорейцев. В астрономии Пифагор считал Землю шаром, находящимся в центре Вселенной, знал о собственном движении планет и Солнца.

Идеи Пифагора получили дальнейшее развитие в V веке до н.э., который считается золотым веком эллинской культуры. В этот пе­риод возникают такие материалистические учения, как натурфило­софия Анаксагора, который впервые заявил, что Солнце и звезды отнюдь не являются божественными существами, а представляют собой мертвые пламенеющие камни, которые находятся в вихревом движении. За такие высказывания Анаксагор был обвинен в безбо­жии и изгнан из Афин, несмотря на то, что поддерживал дружеские отношения с его правителем Периклом. В астрономии ему удалось верно объяснить причины лунных и солнечных затмений.

Для всего последующего развития науки выдающееся значение принадлежит гениальной догадке Демокрита об атомном строении материи. Эта догадка не опиралась на какие-либо эмпирические знания, а возникла чисто умозрительным путем. Если продолжать неограниченное деление тел на мельчайшие части, то в конечном итоге можно прийти к тому, что материя в конце концов исчезнет, что противоречит принципу вечного ее существования. Поэтому Демокрит допускает, что в мире должны существовать последние, неделимые ее частицы, которые он назвал атомами (от греч. атоиоа — неделимый). Несмотря на чисто механические представления о свойствах и взаимодействиях атомов, рациональное содержание его гипотезы об атомах впоследствии нашло блестящее подтверждение в современной науке. Демокрит исправил также некоторые недос­татки учения Анаксагора, который допускал, что порядок в мире возник благодаря некоему разуму, который привел в вихревое дви­жение материю. В области геометрии Демокриту приписывают от­крытие формулы объема пирамиды и конуса, хотя он и не дал им точного доказательства.

В целом, в V веке до н.э. продолжалось дальнейшая разработка проблем планиметрии: нахождение площадей многоугольников, ис­следование пропорциональности, правильных многоугольников, уг­лов и дуг в круге, а также определение площади круга, пропорцио­нальной квадрату его радиуса. В стереометрии Демокритом были найдены объемы пирамиды и конуса, была поставлена проблема удвоения объема куба и намечены подходы к анализу теории пер­спективы. Исследование теории чисел, начавшееся с пифагорей­ской мистики чисел, приобрело затем вполне научный характер. Все эти проблемы нашли дальнейшее развитие в IV веке до н.э., который нередко называют веком Платона. Хотя в политическом отношении этот век был уже временем упадка, но в области фило­софии и точных наук это был период невиданного расцвета. Науч­ная жизнь концентрировалась тогда вокруг Платона и созданной им Академии. Ряд великих математиков были друзьями Платона и его учениками в области философии, а сам он всячески способствовал пропаганде математики, требуя от своих учеников основательного знакомства с математикой, прежде чем заняться философией. «При помощи математики, - читаем мы в его диалоге «Государство» — очищается и получает новую жизненную силу орган души, в то время как другие занятия уничтожают его и лишают способности видеть, тогда как он значительно более ценен, чем тысячи очей, ибо только им одним может быть обнаружена истина»1.

      Платон широко использует в своих знаменитых диалогах метод, который применял в своих устных беседах его великий учитель Со­крат. Этот метод часто называют диалектическим, поскольку он ос­новывается на доказательстве истины путем обнаружения противо­речий в мнениях собеседника. Поскольку истина не может быть самопротиворечивой, то гипотеза, которая окажется противоречи­вой отвергается и должна быть заменена другой. Такой способ по­иска истины путем обнаружения противоречий в мнениях или предположениях собеседника был заимствован Платоном из мате­матики, где он назывался методом доказательства путем приведения к абсурду. По его собственным словам, диалектика есть точный ме­тод доказательства, и поэтому в его диалогах не встречаются иных методов доказательства, кроме опровержения мнений или гипотез. В своих диалогах он иллюстрирует этот метод путем доказательства теоремы о несоизмеримости стороны и диагонали квадрата.

Платон оказал значительное влияние на многих математиков своего времени и был в дружеских отношениях с такими выдающи­мися учеными, как Архит Тарентский, Тэетет и Евдокс Книдский. Среди них особенно известен Евдокс, как математик и астроном. В математике он разрабатывал так называемый метод исчерпывания, согласно которому можно определить, например, площадь круга путем непрерывного уменьшения разницы между описанными и вписанными в круг правильными многоугольниками. По мере уве­личения числа их сторон эта разность может сделана как угодно малой величиной. В астрономии он построил оригинальную систе­му мира, в центре которой находится шарообразная Земля. Вокруг нее обращаются 27 концентрических сфер, внешняя из которых не­сет неподвижные звезды, а другие служат для объяснения движений Солнца, Луны и 5 планет. Большую известность Евдокс получил также благодаря описанию звездного неба.

В конце IV века вся греческая математика была собрана в тру­дах Евклида, озаглавленных как «Начала». По ним учился матема­тике весь цивилизованный мир и до настоящего времени школь­ный учебник геометрии представляет, по сути дела, переработку со­чинения Евклида. Хотя сам он не был великим математиком, но стал талантливым систематизатором и педагогом. Он сумел воспол­нить многие недостающие положения в существующих теоремах и открыл некоторые недостающие теоремы. Однако главной его за­слугой является построение геометрии в соответствии с аксиомати­ческим методом, согласно которому все ее теоремы логически вы­водятся из небольшого числа принятых без доказательства аксиом.

Значительных новых результатов древнегреческая математика достигает в александрийскую эпоху в III веке до н.э., когда интел­лектуальная жизнь сосредоточилась в Александрии, столице дина­стии Птолемеев, щедро финансировавших науку. Известные ученые этого периода Аристарх, Архимед, Эратосфен, добившиеся значи­тельных результатов в астрономии, механике и географии одновре­менно   были   выдающимися   математиками.   Аристарх   Самосский впервые осмелился выдвинуть идею, что не Солнце, а Земля враща­ется вокруг Солнца, став, таким образом, предтечей гелиоцентриче­ской системы мира. Эратосфен известен своими работами по изме­рению Земли и составлением географической карты мира. В мате­матике он занимался исследованиями по теории чисел, в частности, он открыл способ, посредством которого можно отсеивать простые числа из нечетных, названное решетом Эратосфена. Великим среди ученых этого периода, несомненно, является Архимед, имя которо­го известно каждому школьнику по закону, носящему его имя. Ар­химеду принадлежат и многие механические изобретения, но по словам Плутарха, хотя, эти изобретения прославили его сверхчело­веческую мудрость, сам он полагал, что «сооружение всех приспо­соблений для практического употребления — дело низкое и неблаго­дарное». Поэтому он стремился заниматься делами возвышенными и совершенными, которые находил в математике. Ему принадлежат исследования по вычислению площадей поверхностей и объемов геометрических тел. Он не только развил дальше метод исчерпыва­ния, использованный Архитом Тарентским, но, в сущности, при­менял для вычисления площадей и объемов метод интегрального исчисления в его геометрической интерпретации.

Последним выдающимся геометром александрийской эпохи яв­ляется Аполлоний Пергский, известный своими исследованиями по коническим сечениям. Его результаты были развиты и использова­ны создателем геоцентрической системы мира Клавдием Птолеме­ем. После Аполлония древнегреческая геометрия, как и математика в целом, приходит в упадок. Этот упадок объясняется, как внешни­ми, так и внутренними причинами. Начать с того, что материаль­ное производство, основанное на рабском труде, не нуждалось в помощи науки, а сами ученые, как показывает пример Архимеда, считали использование науки для практических целей занятием низким и неблагородным. К тому же наука, зависевшая от царских субсидий, сразу же после ухудшения экономики в результате войн и разорения, перестала нормально функционировать. Изменилась и ориентация науки: она стала достоянием придворных кругов, в то время как в классический период к знанию стремились широкие слои свободнорожденных граждан.

К числу внутренних трудностей древнегреческой математики следует отнести отсутствие удобной цифровой системы счисления, которая впервые была создана в Индии. Использование греками букв вместо цифр крайне усложняло процесс вычислений, а отказ от применения иррациональных чисел в алгебре задержал процесс алгебраизации геометрии. Арабы, заимствовавшие индийскую сис­тему счисления, достигли значительных успехов в астрономии, навигации и в других областях познавательной и практической дея­тельности и тем самым способствовали развитию не только при­кладной, но и теоретической математики.

 

 
« Пред.   След. »





загрузка...

Тематики

От партнеров

Аудиокниги

audioknigi.jpg АудиоКниги

Реклама

Свежие статьи

Это интересно

загрузка...